Vorwort Ines Rennert, Bernhard Bundschuh Signale und SystemeLeseprobe Ines Rennert, Bernhard Bundschuh Signale und Systeme Einführung in die Systemtheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43327-4 - [PDF Document] (2024)

Vorwort

Ines Rennert, Bernhard Bundschuh

Signale und Systeme

Einführung in die Systemtheorie

ISBN (Buch): 978-3-446-43327-4

ISBN (E-Book): 978-3-446-43328-1

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sowie im Buchhandel.

© Carl Hanser Verlag, München

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 5 — #1 ii

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Vorwort

Es gibt schon zahlreiche Bücher zur Systemtheorie. Warum dennnoch eins, könnte manfragen. Die Antwort lautet: Dafür gibt esverschiedene Gründe. In unserer jahrelangen Lehr-tätigkeit habenwir zahlreiche Erfahrungen sammeln können, wie man die Studierendener-folgreich oder manchmal leider auch weniger erfolgreich an dieSystemtheorie heranführenkann. Bei den Studierenden, bei denen esuns weniger gut geglückt ist, könnte man in dieweitverbreiteteMeinung einstimmen: „Die Studienanfänger werden immer dümmer.“Aberdas ist wohl sehr vorschnell gedacht. Erinnern wir uns an unserStudium zurück, dann habenwir doch auch lange gebraucht, um zuverstehen, was der Dozent z. B. mit diesem theoreti-schenDirac-Impuls, der noch nicht mal eine ordentliche Funktion ist,meint. Oder was istdiese mysteriöse Operation Faltung, Origami fürFortgeschrittene? Wozu braucht man dasund wie führt man dieseOperation korrekt aus? Es gab viele Fragen, die uns imStudiumverwirrt haben. Und nach einem Seminar, das Aufklärungbringen sollte, war man immernoch verwirrt, wenn auch auf einerhöheren Stufe. Und so geht es den Studierenden damalswie heute. Dawir uns nun seit Jahren mit der Systemtheorie befassen, sind unsviele Dingeso in Fleisch und Blut übergegangen, dass man schnellvergisst, wie man selbst als Lernen-der darüber angestrengtgegrübelt hat. Aus diesem Grund entstand die Idee, ein Buch mitdemAnspruch Systemtheorie für Einsteiger zu schreiben. DieSystemtheorie ist ein Gebiet,das Abstraktionsvermögen verlangt undstark mathematisch orientiert ist, davon könnenwir nicht abweichen.Aber wir werden versuchen, weitestgehend auf mathematischausge-feilte Beweisführungen zu verzichten und eherPlausibilitätserklärungen, auch „Kochrezep-te“, anzubieten. JederLehrende weiß, Studierende schätzen es, anhand von Übungsaufga-benden Sachverhalt zu erschließen. Zahlreiche im Buch vorgerechneteBeispiele kommendem Wunsch der Studierenden nach, natürlich mit demZiel, den vorgestellten Sachverhaltzu verstehen und zu festigen. Essoll ein Buch für Einsteiger sein, die sich diewesentlichenGrundbausteine der Systemtheorie aneignen und einGrundverständnis für das Gebiet Sys-temtheorie erarbeitenwollen.

Das vorliegende Buch ist hauptsächlich vorgesehen fürStudierende in den StudiengängenElektrotechnik, Mechatronik,Informationstechnik, Kommunikationstechnik,Automatisie-rungstechnik und Physikalische Technik.

Leipzig, Merseburg im Februar 2013 Ines Rennert und BernhardBundschuh

Leseprobe

Ines Rennert, Bernhard Bundschuh

Signale und Systeme

Einführung in die Systemtheorie

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3 Deterministische kontinuier-liche Signale im Zeitbereich

3.1 Wie kann man Signale im Zeitbereichdarstellen?

Die Darstellung des simulierten Spannungsverlaufs u(t ) im Bild3.1 ist dem Kurvenverlaufauf dem Bildschirm eines Oszilloskopsnachempfunden.

2.2.1 Wie kann man Signale im Zeitbereich darstellen? 9

2.2 Deterministische kontinuierliche Signale im Zeitbereich

2.2.1 Wie kann man Signale im Zeitbereich darstellen?

Die Darstellung des simulierten Spannungsverlaufs u(t) im Bild2.6 ist dem Kurvenverlauf auf dem Bildschirm eines Oszilloskopsnachempfunden.

t

u(t)

Bild 2.6: Kontinuierlicher Spannungsverlauf

Aus dem Kurvenverlauf lassen sich einige Informationen über dasSignal gewinnen, z. B. die zeitliche Dauer (falls endlich), derWertebereich, die Lage der Nulldurchgänge und der Extremwerte. Einegenauere Analyse ermöglicht evtl. auch eine Ermittlung derFrequenz-zusammensetzung des Signals. Die komplette Information istim Kurvenverlauf u(t) (physi-kalisch z. B. 1V·cos(2πfPt) bzw. x(t)(systemtheoretisch z. B. cos(2πfPt)) enthalten.

Bild 3.1 Kontinuierlicher Spannungsverlauf

Aus dem Kurvenverlauf lassen sich einige Informationen über dasSignal gewinnen, z. B. diezeitliche Dauer (falls endlich), derWertebereich, die Lage der Nulldurchgänge und der Ex-tremwerte.Eine genauere Analyse ermöglicht evtl. auch eine Ermittlung derFrequenzzu-sammensetzung des Signals. Die komplette Information istim Kurvenverlauf u(t ) (physika-lisch z. B. 1 V · cos(2p fPt ) bzw.x(t ) systemtheoretisch z. B. cos(2p fPt )) enthalten.

3.2 ElementarsignaleElementarsignale stellen einfache undidealisierte Signale dar, die jedoch den großen Vor-teil einfachermathematischer Handhabbarkeit besitzen. Man denke an die BerechnungvonIntegralen, wie sie im Zusammenhang mit Signaloperationenvorkommen. Bei Verwendungvon Elementarsignalen verringert sich derAufwand für die Integration ganz erheblich.

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3.2 Elementarsignale 21

Wenn man analytisch rechnen will, verwendet man Elementarsignaleeinzeln oder in Kom-bination zur vereinfachten Nachbildungpraktisch auftretender Signale. Dabei ist immer zubeachten, dassdurch die Idealisierungen bei Verwendung von Elementarsignalenkeine zugroßen Fehler entstehen dürfen. Bild 3.2 illustriert dieProblematik.

tt

x(t) x(t)

a) b)

Bild 3.2 Gemessene Signalverläufe; a) gute Approximation durchRechteck, b) ungenaue Approximationdurch Rechteck

Betrachtet man den gemessenen Signalverlauf im Bild 3.2a, soerkennt man, dass ein Erset-zen der Messkurve durch eineidealisierte Rechteckfunktion unkritisch sein sollte. Das SignalimBild 3.2b würde durch eine Rechteckfunktion jedoch nur grobangenähert.

Konstantes SignalGleichspannung oder Gleichstrom lassen sichbeispielsweise als konstante Signale darstel-len. Ohne Beschränkungder Allgemeinheit kann man den Wert des einheitenlosen Signalsx(t )zu 1 annehmen.

10 2 Signale

2.2.2 Elementarsignale

Elementarsignale stellen einfache und idealisierte Signale dar,die jedoch den großen Vor-teil einfacher mathematischerHandhabbarkeit besitzen. Man denke an die Berechnung vonIntegralen, wie sie im Zusammenhang mit Signaloperationenvorkommen. Bei Verwendung von Elementarsignalen verringert sich derAufwand für die Integration ganz erheblich. Wenn man analytischrechnen will, verwendet man Elementarsignale einzeln oder inKom-bination zur vereinfachten Nachbildung praktisch auftretenderSignale. Dabei ist natürlich immer zu beachten, dass durch dieIdealisierungen bei Verwendung von ? der Elementar-signale keine zugroßen Fehler entstehen dürfen. Bild 2.7 illustriert dieProblematik.

tt

x(t) x(t)

a) gute Approximation durch Rechteck b) ungenaue Approximationdurch Rechteck

Bild 2.7: Gemessene Signalverläufe Betrachtet man den gemessenenSignalverlauf im Bild 2.7a, so erkennt man, dass ein Erset-zen derMesskurve durch eine idealisierte Rechteckfunktion unkritisch seinsollte. Das Signal im Bild 2.7b würde durch eine Rechteckfunktionjedoch nur grob angenähert. Konstantes Signal Gleichspannung oderGleichstrom lassen sich beispielsweise als konstante Signaledarstel-len. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man den Wertdes einheitenlosen Signals x(t) zu 1 annehmen.

x(t)

t

1

Bild 2.8: Konstantes Signal x(t) = 1

Bild 3.3 Konstantes Signal x(t) = 1

Einheitssprung 3(t)Der Einheitssprung lässt sich sehr gutverwenden, um Ein- bzw. Ausschaltvorgänge zu mo-dellieren. Bild 3.4zeigt eine mögliche Anwendung.

2.2.2 Elementarsignale 11

Einheitssprung ε(t) Der Einheitssprung lässt sich sehr gutverwenden, um Ein- bzw. Ausschaltvorgänge zu modellieren. Bild 2.9zeigt eine mögliche Anwendung.

t = 01V ( )1V tε

Bild 2.9: Modellierung eines Einschaltvorgangs Die folgendeeinfache abschnittsweise Definition ist für praktische Anwendungenim All-gemeinen völlig ausreichend:

( ) 0 für 01 für 0

tt

tε

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22 3 Deterministische kontinuierliche Signale im Zeitbereich

Hinweis: Man darf sich unter 3(t ) keine analytische Funktionvorstellen wie etwa die Kosi-nusfunktion, die Logarithmusfunktiono. Ä., sondern es handelt sich um eine symbolischeKurzschreibweisefür die abschnittsweise Definition nach Gl. (3.1). Bild 3.5 zeigtden zeitli-chen Verlauf der Funktion.

2.2.2 Elementarsignale 11

Einheitssprung ε(t) Der Einheitssprung lässt sich sehr gutverwenden, um Ein- bzw. Ausschaltvorgänge zu modellieren. Bild 2.9zeigt eine mögliche Anwendung.

t = 01V ( )1V tε

Bild 2.9: Modellierung eines Einschaltvorgangs Die folgendeeinfache abschnittsweise Definition ist für praktische Anwendungenim All-gemeinen völlig ausreichend:

( ) 0 für 01 für 0

tt

tε

(2.3)

Dirac-Impuls δ(t) Häufig wird in Lehrbüchern die folgendeeinfache, für praktische Anwendungen ausrei-chende abermathematisch nicht rigorose Herleitung verwendet. Ausgangspunkt istdie Rechteckfunktion T-1·rect(t/T). Aus Bild 2.12 liest man ab,dass die Fläche unter der Funktion gleich 1 sein muss (Breite T ·Höhe 1/T). Wenn man nun den Wert von T immer weiter verkleinert,bleibt die Fläche gleich eins, da die Höhe reziprok zur Breite desRechtecks immer weiter anwächst.

Bild 3.6 Rechteckfunktion

Die Zeitverschiebungen und die Spiegelung des Signals 3(t − T/2) an der Zeitachse stellenerste Beispiele von Signaloperationendar. Im Abschnitt 3.3 werden diese Signaloperationenneben anderennoch eingehender erläutert.

rect(

tT

)= 3

(t +

T2

)− 3

(t − T

2

)(3.2)

Die symbolische Bezeichnung rect(t/T ) stammt vom lateinischen„rectangula“. Man darfsich darunter auch hier keine analytischeFunktion vorstellen, sondern es handelt sich wie-der um einesymbolische Kurzschreibweise für die abschnittsweise Definition desSignals!

Ausgehend von der in Gl. (3.1) angegebenen abschnittsweisenDefinition des Einheits-sprungs erhält man folgende Definition derRechteckfunktion.

rect(

tT

)=

0 für t < −T /21 für −T /2 5 t 5 T /20 für t > T /2.

(3.3)

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 23 — #19 ii

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3.2 Elementarsignale 23

Dirac-Impuls d(t)Häufig wird in Lehrbüchern die folgendeeinfache, für praktische Anwendungen ausreichen-de, abermathematisch nicht rigorose Herleitung verwendet.

Ausgangspunkt ist die Rechteckfunktion T−1 · rect(t/T ). AusBild 3.7 liest man ab, dass dieFläche unter der Funktion gleich 1sein muss (Breite T ·Höhe 1/T ). Wenn man nun den Wertvon T immerweiter verkleinert, bleibt die Fläche gleich eins, da die Höhereziprok zur Breitedes Rechtecks immer weiter anwächst.

2.2.2 Elementarsignale 13

-T/2 -T/4 -T/16 T/16 T/4 T/2

1/T

2/T

8/T

Fläche = 1

x(t)

t

Bild 2.12: Rechteckfunktionen mit konstanter Fläche = 1 Führtman nun den Grenzübergang

( )0

1lim rectT

ttT T→

δ = ⋅

(2.4)

durch, so entsteht ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Stoß,Deltafunktion oder Di-rac‘sche Deltafunktion bezeichnet wird. SeineDauer geht offensichtlich gegen 0 und seine Höhe gegen ∞. Der Nameerinnert an den Physiker Paul Dirac, der wichtige Beiträge zurQuantenmechanik geleistet und das Signal in diesem Zusammenhangeingeführt hat. Als grafische Darstellung hat sich der im Bild 2.13zu erkennende Pfeil nach oben einge-bürgert. Er symbolisiert dieHöhe des Impulses, die gegen ∞ geht. Die vorher erwähnte konstanteFläche = 1 wird nach dem Grenzübergang als Gewicht oderGewichtsfaktor be-zeichnet. Dies schreibt man in Klammern neben dieSpitze des Pfeils. Andere Gewichtsfak-toren können ebenfalls in derKlammer stehen, z. B. (-1) bei einem ins Negative reichendenDirac-Impuls.

t

x(t) = δ(t)( )1 Gewicht Fläche

Bild 2.13: Symbolische Darstellung des Dirac-Impulses

Eine einfache abschnittweise Definition des Dirac-Impulseskönnte nun folgendermaßen lauten:

Bild 3.7 Rechteckfunktionen mit konstanter Fläche = 1

Führt man nun den Grenzübergang

d (t ) = limT→0

1T· rect

(tT

)(3.4)

durch, so entsteht ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Stoß,Deltafunktion oder Di-rac’sche Deltafunktion bezeichnet wird. SeineDauer geht gegen 0 und seine Höhe gegen∞.Der Name erinnert an denPhysiker Paul Dirac, der wichtige Beiträge zurQuantenmechanikgeleistet und das Signal in diesem Zusammenhangeingeführt hat.

Als grafische Darstellung hat sich der im Bild 3.8 zu erkennendePfeil nach oben eingebür-gert. Er symbolisiert die Höhe desImpulses, die gegen ∞ geht. Die vorher erwähnte kon-stante Fläche =1 wird nach dem Grenzübergang als Gewicht oder Gewichtsfaktorbezeich-net. Dies schreibt man in Klammern neben die Spitze desPfeils. Andere Gewichtsfaktorenkönnen ebenfalls in der Klammerstehen, z. B. (−1) bei einem ins Negative reichendenDirac-Impuls.

Eine einfache abschnittsweise Definition des Dirac-Impulseskönnte nun folgendermaßenlauten:

d (t ) ={∞ für t = 00 für t 6= 0 (3.5)

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 24 — #20 ii

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24 3 Deterministische kontinuierliche Signale im Zeitbereich

2.2.2 Elementarsignale 13

-T/2 -T/4 -T/16 T/16 T/4 T/2

1/T

2/T

8/T

Fläche = 1

x(t)

t

Bild 2.12: Rechteckfunktionen mit konstanter Fläche = 1 Führtman nun den Grenzübergang

( )0

1lim rectT

ttT T→

δ = ⋅

(2.4)

durch, so entsteht ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Stoß,Deltafunktion oder Di-rac‘sche Deltafunktion bezeichnet wird. SeineDauer geht offensichtlich gegen 0 und seine Höhe gegen ∞. Der Nameerinnert an den Physiker Paul Dirac, der wichtige Beiträge zurQuantenmechanik geleistet und das Signal in diesem Zusammenhangeingeführt hat. Als grafische Darstellung hat sich der im Bild 2.13zu erkennende Pfeil nach oben einge-bürgert. Er symbolisiert dieHöhe des Impulses, die gegen ∞ geht. Die vorher erwähnte konstanteFläche = 1 wird nach dem Grenzübergang als Gewicht oderGewichtsfaktor be-zeichnet. Dies schreibt man in Klammern neben dieSpitze des Pfeils. Andere Gewichtsfak-toren können ebenfalls in derKlammer stehen, z. B. (-1) bei einem ins Negative reichendenDirac-Impuls.

t

x(t) = δ(t)( )1 Gewicht Fläche

Bild 2.13: Symbolische Darstellung des Dirac-Impulses

Eine einfache abschnittweise Definition des Dirac-Impulseskönnte nun folgendermaßen lauten:

Bild 3.8 Symbolische Darstellungdes Dirac-Impulses

Die ungewöhnliche Definition wirft folgende Fragen auf:1. Wiekann man das so definierte Signal mathematisch handhaben?2. Wie istdas Gewicht des Dirac-Impulses in der abschnittsweisen Definitionenthalten?

Letztendlich stellt der Dirac-Impuls keine mathematischeFunktion im eigentlichen Sinndar, sondern eine sogenannteDistribution. Die Distributionentheorie /27/ soll im vorlie-gendenBuch jedoch nicht behandelt werden.

Eine Definition des Dirac-Impulses, die die Fragen 1. und 2.vermeidet, lässt sich durch ein-fache Überlegungen nach Bild 3.9ermitteln. Anzumerken ist hier erneut, dass die mathema-tischeHerleitung nicht rigoros ist, für praktische Anwendungen jedochausreicht. Vorausset-zung hierfür ist, dass das Signal x(t ) bei t0stetig ist, was bei „praktischen“ Signalen immergegeben ist.

14 2 Signale

( ) für 00 für 0

tt

tδ

∞ == ≠

(2.5)

Die ungewöhnliche Definition wirft folgende Fragen auf: 1. Wiekann man das so definierte Signal mathematisch handhaben? 2. Wieist das Gewicht des Dirac-Impulses in der abschnittsweisenDefinition enthalten? Letztendlich stellt der Dirac-Impuls keinemathematische Funktion im eigentlichen Sinn dar, sondern eine sogenannte Distribution. Die Distributionentheorie [Li] soll imvorlie-genden Buch jedoch nicht behandelt werden. Eine Definitiondes Dirac-Impulses, die die Fragen 1. und 2. vermeidet, lässt sichdurch einfache Überlegungen nach Bild 2.14 ermitteln. Anzumerkenist hier erneut, dass die ma-thematische Herleitung nicht rigorosist, für praktische Anwendungen jedoch ausreicht. Voraussetzunghierfür ist, dass das Signal x(t) bei t0 stetig ist, was bei“praktischen“ Signa-len immer gegeben ist.

x(t)

t0 t

T

Bild 2.14: Anschauliche Definition des Dirac-Impulses

Der Mittelwert des Signals x(t) in einem Zeitintervall der DauerT symmetrisch um den Zeitpunkt t0 lässt sich mit folgendem Integralberechnen:

( ) ( )0

2

02

1 dt T

t T

x t x t tT

+

−

= (2.6)

Unter Verwendung der Rechteckfunktion lässt sich formal eineIntegration von -∞ bis ∞ durchführen. Die Signalanteile außerhalbdes Rechtecks werden dabei unterdrückt und liefern somit keinenBeitrag zum Integral.

( ) ( ) 001 rect dt tx t x t tT T

∞

−∞

− = (2.7)

Wenn man nun die Breite T der Rechteckfunktion gegen 0 gehenlässt, so strebt der Mittel-wert im Zeitintervall gegen denSignalwert zum Zeitpunkt t0. Voraussetzung ist die vorherangegebene Stetigkeit von x(t) bei t = t0.

( ) ( ) ( )( )0

0 00 0 0

1 1lim rect d lim rect dT T

t t

t t t tx t x t t x t tT T T T

δ

∞ ∞

→ →−∞ −∞

−

− − = =

(2.8)

Bild 3.9 Anschauliche Definitiondes Dirac-Impulses

Der Mittelwert des Signals x(t ) in einem Zeitintervall derDauer T symmetrisch um den Zeit-punkt t0 lässt sich mit folgendemIntegral berechnen:

x(t0) =1T

t0+T /2Zt0−T /2

x(t ) d t (3.6)

Unter Verwendung der Rechteckfunktion lässt sich formal eineIntegration von −∞ bis∞durchführen. Die Signalanteile außerhalb desRechtecks werden dabei unterdrückt und lie-fern somit keinenBeitrag zum Integral.

x(t0) =1T

∞Z−∞

x(t ) rect(

t − t0T

)d t (3.7)

Wenn man nun die Breite T der Rechteckfunktion gegen 0 gehenlässt, so strebt der Mittel-wert im Zeitintervall gegen denSignalwert zum Zeitpunkt t0. Voraussetzung ist die vorherangegebeneStetigkeit von x(t ) bei t = t0.

x(t0) = limT→0

1T

∞Z−∞

x(t ) rect(

t − t0T

)d t =

∞Z−∞

x(t ) limT→0

1T

rect(

t − t0T

)︸ ︷︷ ︸

d(t−t0)

d t (3.8)

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 25 — #21 ii

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3.2 Elementarsignale 25

In dieser Gleichung taucht wieder der oben erläuterteGrenzübergang auf, der von der Recht-eckfunktion zum Dirac-Impulsführt. Die formal korrekte Definitionsgleichung des Dirac-Impulseslautet damit

∞Z−∞

x(t )d (t − t0) d t = x(t0). (3.9)

Man spricht bei dieser Definitionsgleichung auch von derAusblendeigenschaft des Dirac-Impulses. Alle Signalwerte außerx(t0) werden ausgeblendet bzw. unterdrückt. Diese Defini-tionmittels eines Integrals ist charakteristisch fürDistributionen.

Betrachtet man nur das Produkt unter dem Integral, so erhält mandie Multiplikationseigen-schaft des Dirac-Impulses.

x(t ) · d (t − t0) = x(t0) · d (t − t0) (3.10)

Bild 3.10 veranschaulicht diese einfache Beziehung

2.2.2 Elementarsignale 15

In dieser Gleichung taucht wieder der oben erläuterteGrenzübergang auf, der von der Rechteckfunktion zum Dirac-Impulsführt. Die formal korrekte Definitionsgleichung des Dirac-Impulseslautet damit

( ) ( ) ( )0 0dx t t t t x t∞

−∞

δ − = . (2.9)

Man spricht bei dieser Definitionsgleichung auch von derAusblendeigenschaft des Dirac-Impulses. Alle Signalwerte außerx(t0) werden ausgeblendet bzw. unterdrückt. Diese Defi-nitionmittels eines Integrals ist charakteristisch für Distributionen.Betrachtet man nur das Produkt unter dem Integral, so erhält mandie Multiplikationseigen-schaft des Dirac-Impulses. ( ) ( ) ( ) ()0 0 0x t t t x t t t⋅ δ − = ⋅δ − (2.10) Bild 2.15 veranschaulichtdiese einfache Beziehung

t0 t

δ(t-t0)(1)x(t)

Bild 2.15: Produkt aus kontinuierlichem Signal undDirac-Impuls

Für alle Zeitpunkte t ≠ t0 ist der Signalwert des Dirac-Impulsesgleich null. Somit wird das Signal nur zu diesem einen Zeitpunkt,nämlich t = t0, mit einem Zahlenwert ungleich null multipliziertund nur dieser eine Zahlenwert wird im Produkt wirksam. Zu beachtenist, dass das Signal x(t) bei t0 stetig sein muss. Technisch lässtsich der Dirac-Impuls natürlich nicht erzeugen. Dennoch kann esvorteilhaft sein, mit Dirac-Impulsen zu rechnen, z. B. bei derBeschreibung der periodischen Fortset-zung eines Signals durchFaltung mit einer Dirac-Impulsfolge wie sie im Bild 2.43darge-stellt wird. Eine andere Anwendung ist die mathematischeBeschreibung von Abtastvor-gängen wie im Abschnitt 2.5.1. Einepraktisch ausreichende Nachbildung des Dirac-Impulses wird durcheinen kurzen Impuls erreicht, dessen Dauer sehr viel kleiner istals die Zeitkonstanten in einem System, an dessen Eingang derImpuls angelegt wird. Bild 2.16 zeigt eine einfache Anordnungdieser Art mit dem Eingangssignal ue(t) und einem schema-tischdargestellten Ausgangssignal ua(t). ■ Beispiel: Übergang desEingangssignals von der Rechteckfunktion zum Dirac-Impuls

Bild 3.10 Produkt aus kontinuierlichem SignalundDirac-Impuls

Für alle Zeitpunkte t 6= t0 ist der Signalwert desDirac-Impulses gleich null. Somit wird dasSignal nur zu diesemeinen Zeitpunkt, nämlich t = t0, mit einem Zahlenwert ungleichnullmultipliziert und nur dieser eine Zahlenwert wird im Produktwirksam. Zu beachten ist, dassdas Signal x(t ) bei t0 stetig seinmuss.

Technisch lässt sich der Dirac-Impuls natürlich nicht erzeugen.Dennoch kann es vorteil-haft sein, mit Dirac-Impulsen zu rechnen,z. B. bei der Beschreibung der periodischen Fort-setzung einesSignals durch Faltung mit einer Dirac-Impulsfolge wie sie im Bild3.38 darge-stellt wird. Eine andere Anwendung ist die mathematischeBeschreibung von Abtastvorgän-gen wie im Abschnitt 6.1. Einepraktisch ausreichende Nachbildung des Dirac-Impulses wirddurcheinen kurzen Impuls erreicht, dessen Dauer sehr viel kleiner istals die Zeitkonstantenin einem System, an dessen Eingang der Impulsangelegt wird. Bild 3.11 zeigt eine einfacheAnordnung dieser Artmit dem Eingangssignal ue(t ) und einem schematischdargestelltenAusgangssignal ua(t ).

Beispiel 3.1 Übergang des Eingangssignals von derRechteckfunktion zum Dirac-Impuls

16 2 Signale

T

ue(t)

t T

ua(t)

t

RC0

RCUT

0 1T

RCRCU eT

− −

Bild 2.16: RC-Schaltung mit Rechteckimpuls als EingangssignalFür das Ausgangssignal gilt die Fallunterscheidung

( ) ( )

( ) ( )a 0

0 für 0

1 für 0

1 für

t RC

t T RCT RC

tRCu t U e t TT

RCU e e t TT

−

− −−

≤= − ≤ ≤ − ≥

.

Bild 2.17 zeigt einige für verschiedene Werte von T berechneteAusgangssignale. Der Fall T → 0 entspricht einem Dirac-Impuls mitGewicht U0·RC als Eingangssignal.

ue(t)

ue(t)

ue(t)

ua(t) ua(t)

ua(t)ua(t)

ue(t) = U0 RC δ(t)

t t

tt

T = RC T = 0,4 RC

T = 0,1 RCU0 U0

ue(t), ua(t) ue(t), ua(t)

ue(t), ua(t) ue(t), ua(t)

0T →

T T

T

Bild 2.17: Ein- und Ausgangssignale einer RC-Schaltung Manerkennt, dass sich das Ausgangssignal des Systems bei sehr kurzerDauer des Ein-gangssignals (T

Stichwortverzeichnis

Ines Rennert, Bernhard Bundschuh

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 393 — #389 ii

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Index

3-dB-Grenzfrequenz 257, 267

A

absolut integrierbar 247, 249Abtastfrequenz 134– fürTiefpasssignale 136– von Bandpasssignalen 140Abtastintervall132Abtastung 17, 55–, ideale 132, 307– von Bandpasssignalen 137–von Tiefpasssignalen 134Addierer 303Addition 34, 65Akausalität 279,369algebraische Gleichung 217, 320, 322aliasing 136alternierenderVorgang 338Amplitude 29, 80, 88 f., 95, 354Amplitudengang 256, 281,359, 371Amplitudenkennlinie 264, 359Amplitudenmodulation113amplitudenmoduliertes Signal 108Amplitudenspektrum 89, 91, 93,100, 147, 281,

371Anfangswert 218, 221, 226, 231, 321, 323Anfangswertpolynom232Ansatz- und Einsetzverfahren 296Ansatzverfahren 192,300Anti-Aliasing-Filter 137Antwort eines RC -Gliedes auf einegeschaltete

harmonische Funktion 245aperiodischer Grenzfall 225,237aperiodischer Vorgang 237aperiodisches Signal224Assoziativgesetz 44, 72Ausblendeigenschaft 364f.Ausgleichsvorgang 197Autokorrelation 68Autokorrelationsfunktion37, 54, 125

B

Bandbreite 278, 283, 367Bandpass 138, 236–, idealer 278, 367

Bandpasssignal 133Bandsperre, ideale 278, 368BernoulliL’Hospital 31, 115, 150Betrag 253, 255BIBO-Kriterium 347BIBO-stabil190Bildbereich 201, 218, 231, 320, 332Bildfunktion 211bilineareFunktion 227bit reversal 160Block 198Blockdiagramm 197Blöcke zurSpeicherung 303Bode-Diagramm 267

C

charakteristische Gleichung 194, 301

D

Dämpfung 252Dämpfungsfaktor 222, 237Dämpfungskonstante 222dB(deziBel) 266deterministisches Signal 18DGL 191, 193–, hom*ogene192–, inhom*ogene 192Differenzengleichung 332, 339–, diskreterIntegrator 297, 301–, lineare, mit konstanten Koeffizienten 293–,System zur Mittelwertbildung 299Differenzengleichungen320Differenzenquotient 294Differenzialgleichung 191, 202, 217,238,

255 f., 294–, lineare 191Differenzialquotient 294Differenziation214– im Frequenzbereich 111– im Zeitbereich 111Dirac-Impuls 23, 42,116, 240–, Multiplikationseigenschaft 25, 309–,Verschiebungseigenschaft 134, 278

ii

“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 394 — #390 ii

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ii

394 Index

Dirac-Impulsfolge 26, 129, 132–, periodische 307discrete timeFourier transform DTFT 143,

145diskrete Faltung 71diskrete Faltung im Zeitbereich318diskrete Fourier-Transformation DFT 143,

152, 154diskreter Integrator 333, 337, 343diskretesFrequenzspektrum 280diskretes Spektrum 131, 142, 167Diskriminante222, 225Distributiveigenschaft 355Distributivgesetz 44,73Dreieckfunktion 27, 119DTFT 365Dualität 135, 167dynamischesVerhalten 186

E

Eigenbewegung 195, 237, 338Eigenfunktion 253, 352Eigenvorgang237, 338Eigenwert 195, 336Eingangssignal, harmonisches252Einheitsimpuls 71, 211Einheitsimpulsfolge 58, 340–, periodische59Einheitskreis 310Einheitssprung 21, 121, 240Einheitssprungfolge57, 340, 345einseitige Laplace-Transformation 204,211Einsetzverfahren 299Element 56Elementarsignal 20, 115Endwert196Energie 50, 77Energiedichtespektrum 125 f.Energiesignal 53, 125f.Euler’sche Beziehungen 29Exponentialfolge 60Exponentialfunktion28, 230–, geschaltete 120exponentiell gedämpfte Schwingung 224,230

F

Faltung 42, 49, 76, 223, 238 f., 339 f.–, diskrete 71–,diskrete, im Zeitbereich 318– im Frequenzbereich 112– imZeitbereich 112, 216–, periodische 75Faltungssumme 72fast Fouriertransform 143, 158

FFT 158Fibonacci-Folge 329Filter 12, 183, 189, 276 ff., 315,321, 360 ff.,

364 ff.Filterwirkung 14, 183, 283finite impulse response341FIR-System 341Fourier, Jean Baptiste Joseph 84Fourier-Analyse84, 142Fourier-Koeffizient 92, 95Fourier-Reihe 84, 100,128Fourier-Synthese 96Fourier-Transformation 84, 97, 99, 125,128,

142, 255 f., 307–, Eigenschaften 102–, inverse 97, 99–,Rechenregeln 102Fourier-Transformierte, inverse277Fourier-Transformierte für Abtastsignale

FTA 145Frequenz 29, 80Frequenzfunktion 167Frequenzgang 252, 262,280, 352, 370– eines RC -Tiefpasses 255–, System zurMittelwertbildung 360Frequenzgangs eines RC -Gliedes 263,265Frequenzkennlinie 263 f., 359Frequenzskalierung110Frequenzspektrum 80, 89, 93, 147, 280, 370–, diskretes280Frequenzverhalten 235, 336Frequenzverschiebung 107Funktion,bilineare 227–, si- 31–, sinc- 31–, symmetrisch gerade 104–,symmetrisch ungerade 104

G

Gauß-Funktion 30, 122Gauß’sche Zahlenebene 154gedämpfterperiodischer Vorgang 237geschaltete Exponentialfunktion120geschaltetes harmonisches Signal 241Gewichtsfunktion 42,240Gibbs’sches Phänomen 97Gleichung, algebraische 320,322Grenzfrequenz 137, 265, 276 f., 365 f.–, 3-dB- 257,267Grundschwingung 85Gruppenlaufzeit 268, 274, 362– eines RC-Gliedes 269–, System zur Mittelwertbildung 363

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 395 — #391 ii

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SachwortverzeiIndex 395

H

Harmonische 85, 90harmonische Analyse 84harmonische Folge 340,345harmonische Funktion 240harmonische Schwingungen 29, 118– alsFolgen 60harmonisches Eingangssignal 252Hochpass, idealer 277,366hom*ogene DGL 192Hüllkurve 270, 273hyperbolischer Kosinusimpuls31

I

ideale Abtastung 132, 307, 313ideale Bandsperre 278, 368idealerBandpass 278, 367idealer Hochpass 277, 366idealer Tiefpass 135, 189f., 276, 290, 365ideales kontinuierliches Übertragungssys-

tem 275ideales zeitdiskretes Übertragungssystem 364IIR-System341Imaginärteil 255– des Spektrums 104Impulsantwort 42, 71, 239 f.,246, 253, 275,

340 f., 347, 353, 364– des diskreten Integrators 343– eines RC-Gliedes 243–, System zur Mittelwertbildung 344– von endlicherDauer 341– von unendlicher Dauer 341Impulsantwortfolge 340f.infinite impulse response 341inhom*ogene DGL 192instabiles System291Integration 182inverse diskrete Fourier-Transformation

IDFT 157inverse Fourier-Transformation 97, 99inverseFourier-Transformierte 277inverse zeitdiskreteFourier-Transformation

IDTFT 149 f., 355, 368inverse zeitdiskreteFourier-Transformierte

IDTFT 367 ff.inverse z-Transformation 307, 312, 314

KKante 198, 304Kantengewicht 198, 304kausales System 290kausalesund nichtkausales System 189

Kirchhoff’sche Sätze 191, 220Knoten 198,304Koeffizientenmultiplizierer 303kommutativ 50, 77Kommutativgesetz44, 50, 72komplexe Form der Fourier-Reihe 84, 91, 93,

96 f.komplexe Impedanz 255, 258komplexe Umkehrformel dereinseitigen

Laplace-Transformation 206komplexe Umkehrformel derzweiseitigen

Laplace-Transformation 209konstante Signalfolge 57konstantesSignal 21, 117kontinuierliches Spektrum 142, 167Konvergenzbereich205, 311, 313 f.Korrelation 36, 49, 67, 76Korrespondenzen 210 ff.,296, 315 ff., 383, 387,

390Kosinusimpuls, hyperbolischer 31Kreisfrequenz 29,80Kreuzkorrelation 68Kreuzkorrelationsfunktion 37, 114

L

Laplace-Integral 204Laplace-Rücktransformation 201, 204,206Laplace-Transformation 97, 192, 201, 204,

217, 231, 238, 307, 313–, einseitige 204, 211–, komplexeUmkehrformel der einseiti-

gen 206–, komplexe Umkehrformel der zweiseiti-

gen 209Leistung 50, 77Leistungsdichtespektrum 125, 128,166Leistungssignal 53, 125, 127linear 43, 71linear andtime-invariant 191, 292lineare Differenzengleichung mitkonstanten

Koeffizienten 293lineare Differenzialgleichung mitkonstanten

Koeffizienten 191lineares System 286lineares und nichtlinearesSystem 186Linearfaktor 235Linearität 103, 212, 315Linearitäts- undDifferenziationssatz 231Linienspektrum 131Linksverschiebung 213,317Lösungen 14LTI-System 191, 292 f.– der Ordnung n 226

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“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 396 — #392 ii

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ii

396 Index

M

Methode der unbestimmten Koeffizien-ten 301

Mittenfrequenz 278, 367Mixed Radix-FFT 158Modulation82Multiplikation 35, 66Multiplikationseigenschaft des Dirac-

Impulses 25, 309

N

nichtkausal 276nichtkausales System 189, 290, 366nichtlinearesSystem 286nichtperiodisches Signal 280, 370nichtrekursives System295, 335, 341Nullstelle 235Nutzsignal 270Nyquist-Frequenz136Nyquist-Shannon’sches Abtasttheorem 55,

136

O

Operatorenrechnung 204Originalbereich 201, 218, 231,320Ortskurve 263–, eines RC -Gliedes 264

P

Parseval’sches Theorem 127Partialbruchzerlegung 222,348Partialschwingung 249Partialschwingungen 349p-Ebene 205Periode80Periodendauer 80periodische Dirac-Impulsfolge 307periodischeEinheitsimpulsfolge 59periodische Faltung 75periodischeRechteckfunktion 86, 89, 94periodisches Signal 280, 370periodischesSpektrum 167Periodizität des Spektrums 146Pfad 198, 304Phase 29,253, 255, 354Phasengang 257, 264, 281, 359, 371Phasenkennlinie 264,359Phasenlaufzeit 268, 274– eines RC -Gliedes 269Phasenspektrum 89,91, 93, 100, 147, 281, 371Phasenverschiebung 80, 88 f., 95, 252

PN-Plan 263, 358– des diskreten Integrators 337–, System zurMittelwertbildung 337Pol-Nullstellen-Diagramm 249, 261,349Pol-Nullstellen-Form 234, 336Pol-Nullstellen-Plan 235,336Polstelle 222, 227, 235, 248, 348Polynomdivision 296,334Polynomform 234, 336Potenzfolge 59Produktzerlegung 227, 325,330Punktsymmetrie 104

Q

Quadrierer 185, 187, 287, 289

R

Radix 2-FFT 158Radix 3-FFT 158Rampenfolge 59RC -Glied 185, 193,199 f., 263 f., 281RC -Tiefpass 255, 352Reaktionsgeschwindigkeit235Realteil 255– des Spektrums 104Rechenregeln 210, 382, 386,389Rechteckfolge 58Rechteckfunktion 22, 107, 115, 277–, periodische86, 89, 94Rechteckimpulsfolge 132Rechtecksignal 105rechtsseitigez-Transformation 353Rechtsverschiebung 213, 316reelle Form derFourier-Reihe, 1 84 f., 96–, 2 84, 96Rekursion 296rekursives System295, 335, 341Resonanzfrequenz 259Resonanzkreisfrequenz 222, 259

S

schnelle diskrete Fourier-Transformation 158schnelleFourier-Transformation FFT 143Schwingungen, exponentiell gedämpfte224,

230–, harmonische 29, 118–, harmonische, als Folgen60Schwingungsdauer 80si-Funktion 31, 123, 277, 366Signal 16–,amplitudenmoduliertes 108–, deterministisches 18–, geschaltetesharmonisches 241

ii

“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 397 — #393 ii

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ii

SachwortverzeiIndex 397

–, ideal abgetastetes 313–, konstantes 21, 117–,nichtperiodisches 280, 370–, periodisches 280, 370–, stochastisches18–, wertdiskretes 18–, zeitdiskretes 18, 55–, Zeitverschiebung315Signalbreite 283Signalflussgraph 197, 200, 303–, RC -Glied200Signalflussplan 197, 199, 303, 344– des diskreten Integrators305 f.–, RC -Glied 199Signalfolge, konstante 57Signaloperation32sinc-Funktion 31Skalierung 32, 63Spaltfunktion 31Spektrum 135,161–, Amplituden- 89, 91, 93, 100–, diskretes 131, 142, 167–,Energiedichte- 125 f.–, Frequenz- 80, 89, 93–, kontinuierliches142, 167–, Leistungsdichte- 125, 128–, Linien- 131–, periodisches167–, Periodizität 146–, Phasen- 89, 91, 93, 100Spiegelung 34,64Sprungantwort, System zur Mittelwertbil-

dung 346Sprungantwortfolge 340, 342stabiles System 247,291stabiles und instabiles System 190Stabilität 224, 235, 246,347Stabilitätsbedingung 250, 350Stabilitätsgrenze249Stabilitätsverhalten 336statisches Verhalten 185stochastischesSignal 18Stoßantwort 42, 240Subtraktion 34, 65Summation182Summationsstelle 198Summenzerlegung 227, 229, 328, 331Symmetrie103, 146, 156Symmetrieeigenschaft 359symmetrisch gerade Funktion104symmetrisch ungerade Funktion 104System 182, 285– dritterOrdnung 250– erster Ordnung 218, 321–, instabiles 291

–, kausales 290–, kausales und nichtkausales 189–, lineares286–, lineares und nichtlineares 186– mit und ohne Speicherwirkung285–, nichtkausales 189, 290, 366–, nichtlineares 286–,nichtrekursives 295, 335, 341–, rekursives 295, 335, 341–, stabiles247, 291–, stabiles und instabiles 190–, zeitinvariantes 289–,zeitinvariantes und zeitvariantes 188–, zeitvariantes 289– zurMittelwertbildung 345, 370

– –, Differenzengleichung 299– –, Frequenzgang 360– –,Gruppenlaufzeit 363– –, Impulsantwort 344– –, PN-Plan 337– –,spektrale Beeinflussung 372– –, Sprungantwort 346– –,Übertragungsfunktion 333

– zweiter Ordnung 220, 236, 329Systemantwort 238,339Systemdefinition 182Systemeigenschaft 185, 285Systemreaktion241, 342– auf ein harmonisches Signal 342

T

Tiefpass 138–, idealer 135, 189 f., 276, 290, 365Tiefpasssignal55, 133Träger 270, 273Transformationspaar 99, 210

U

Überabtastung 137 f.Übergangsfunktion 240– eines RC -Gliedes243Übergangsvorgang 185, 241Übertragungsfunktion 231 f., 238, 248,332,

339, 348– des diskreten Integrators 333– des RC -Gliedes 232,234–, System zur Mittelwertbildung 333Übertragungssystem, idealeskontinuierli-

ches 275–, ideales zeitdiskretes 364–, verzerrungsfreies275Übungsaufgaben 172, 374

ii

“signale” — 2013/2/27 — 2:02 — page 398 — #394 ii

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ii

398 Index

Umlaufintegral 314Unterabtastung 136

V

Variation von Konstanten 195Verschiebung 33,64Verschiebungseigenschaft des Dirac-

Impulses 134, 278verzerrungsfreies Übertragungssystem275Verzweigungsstelle 198

W

wertdiskretes Signal 18Wertskalierung 32,63Whittaker-Kotelnikow-Shannon-

Abtasttheorem 136Widerstandsoperator233Wiener-Khintchine-Beziehung 126Wirkungsplan 197

Z

Zahlenfolge 56zeitdiskrete Fourier-Transformation

DTFT 143, 145, 353, 365zeitdiskretes Signal 18, 55zeitinvariant43, 71zeitinvariantes System 289zeitinvariantes und zeitvariantesSystem 188Zeitkonstante 196, 222, 235, 237Zeitkonstantenform234zeitliches Verhalten 235, 336Zeitskalierung 32, 63,108zeitvariantes System 289Zeitverschiebung 106, 212,315z-Rücktransformation 332, 339z-Transformation 307, 309, 332,339–, inverse 307, 312, 314–, Korrespondenzen 315–, Rechenregeln315–, rechtsseitige 353